Cette image illustre la densité des nombres de Lychrel probables qui existent dans plusieurs bases de numération.
L'axe vertical correspond à la base de numération, l'axe horizontal correspond aux entiers naturels. La couleur des barres à une coordonnée est déterminée par la vitesse de convergence du processus décrit dans les lignes suivantes, une barre rouge signifiant qu'il est possible qu'il s'agisse d'un nombre de Lychrel.
Nombres de Lychrel et palindromes
Prenons un nombre, disons 123, dans notre base de numération usuelle, la base 10.
On peut jouer à un petit jeu avec ce nombre, à savoir lui soustraire son image dans un miroir et ce, récursivement :
On peut continuer ce jeu en boucle, en supprimant le signe :
Et là... Bah, on peut plus jouer. En effet, le nomre 99 est un palindrome, il se lit de la même manière dans les deux sens. Si on voulait continuer à jouer, ça deviendrait vite assez lassant :
Toutefois, il existe des nombres de départ pour lesquels ce processus ne semble pas terminer. Par exemple, pour le nombre 196, on peut continuer le calcul jusqu'à un nombre d'un milliard de chiffres sans rencontrer de palindrome.
Un nombre pour lequel on peut continuer indéfiniement ce processus est appellé un nombre de Lychrel. De manière assez étonnante, il n'y a aucune preuve de l'existence d'un nombre de Lychrel en base 10 (même si on soupçonne leur existence). Toutefois, il existe des preuves d'existence de tels nombres dans d'autres bases (notemment quand la structure générée par le processus est répétitive).