Ce graphique représente l'évolution d'une suite numérique selon la variation de son paramétrage. C'est un extrait d'une longue fresque réalisée pour un pote, qui présente ce genre de motifs sur une plus grande longueur.
On peut le voir comme un genre de "chronophotographie" de la suite, c'est-à-dire comme un empilement de clichés pris au cours de son évolution. La couleur blanche correspond aux clichés pris "tôt", et les couleurs vives aux clichés pris "tard".
Construction
C'est une variation de la bien connue suite logistique, une construction mathématique étonnement simple, mais ayant des comportements très riches. La suite logistique est habituellement définie comme suit :
Avec ∀n ∈ ℕ, xn ∈ [0;1] et donc α ∈ [0;4]. La valeur de x0 importe peu tant qu'elle respecte cette condition.
La constante α décrit un paramètre de la suite, souvent appellé fertilité, qui change drastiquement la manière dont elle se comporte. Ce nom s'explique étant donné l'usage courant de la suite logistique comme solution d'un système de modélisation des populations sur le modèle prédateur-proie, mais ce n'est pas vraiment le sujet de cet article ;).
La suite logistique est donc une suite réelle et bornée. On se propose de jouer un peu, et d'essayer d'en trouver une variation à valeurs dans ℂ, l'ensemble des nombres complexes :
Avec ∀n ∈ ℕ, zn ∈ ℂ, |zn|<=1. On peut par exemple prendre z0 = 1 ⁄ 2, mais une fois de plus ça n'a pas grande importance.
Tout ça c'est bien gentil, on "autorise" notre suite à se promener dans l'ensemble des nombres complexes. Mais en partant d'une valeur réelle (z0 = 1 ⁄ 2), il est facile de se convaincre qu'elle restera indéfiniement à valeurs sur la droite réelle :(.
Rajoutons encore un peu de piment, et remplaçons α, notre constante de fertilité, par une fonction toujours définie sur [0;4], mais à valeurs dans ℂ, par exemple :
Donc à la fin de l'histoire, on a :
Et là... Bah c'est fini. Pour construire le graphique, il ne nous reste plus qu'à faire varier x sur l'axe vertical, et d'afficher les valeurs que prend (zn) au fil des itérations sur n.
Pour rendre ça plus lisible, on trace en bleu la partie réelle de la suite Re(zn), et en rouge sa partie imaginaire Re(zn). À noter que les couleurs varient selon l'itération de n : plus les couleurs sont intenses, plus le rang de la suite est élevé.